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概率思维与金融资产定价及交易策略

金融资产定价

金融资产的价值是在估值时刻对其未来存续期间产生收益所有可能情况的无偏估计。未来收益的不确定性就是该金融资产的风险。

对于无风险资产而言,不存在不确定性,将所有未来收益沿路径折现到估值时刻就是其价值。

2017年初发行的利率为2.88%的5年期国债为例,将每期利息及期末本金以2.88%的利率折现就是该国债的价值,为1000000。

用于股票估值的股利贴现模型就是先假设一种未来股利收益的情况,再将进行折现。这显然是不够完善的,风险资产未来的收益存在着不确定性性,股利贴现模型的估值只是其中一种可能性。只有考虑所有可能性的价值并以概率加权,才是风险资产的价值。从起始时刻t0到单期结束时刻t1的收益可能性需要用一个概率分布p(rt)描述。

上图描述的是单期收益服从正态分布的情况,其中,纵轴为标的资产的收益。由于在给定均值和波动率的情况下,正态分布的熵最大,所以在有效市场中对金融资产定价时,通常假设其收益服从正态分布。

大部分金融资产都有很长的存续期T。将T离散化为N个单位间隔,以任意时刻tn的任意可能收益结点为起点,都应存在一个概率分布p(rn+1)描述tn到tn+1收益的可能性。将前一时刻与其在下一时刻所有可能到达的收益结点连接起来,就得到了金融资产存续期间所有可能发生的收益路径图。

如果金融资产在期末的价值是可确定的,并且知道所有概率分布p(r)的信息,并且那么将所有可能的路径上的收益沿着路径折现到估值时刻,就可以对该金融资产进行价值了。假设任意单位间隔内的价格波动是独立同分布的,只需要一个概率分布就可以。这类问题最适合使用蒙特卡洛模拟来解决。关于蒙特卡洛模拟的概念可以参考另一篇文章:

蒙特卡洛模拟的简单例子

虽然蒙特卡洛模拟是一个有效的解决方案,但是由于涉及大量计算,而且没有解析形式。

如果对模型进一步简化:假设任意tn到tn+1收益只有上涨和下跌两种可能,对应的风险中性概率分别是pu和pd,就得到了在债券和期权定价中用到的二叉树模型。期权的BSM定价公式,就是二叉树模型连续化的解析形式。如上图。

综上所述,金融资产定价的基本逻辑是:首先存续期间所有收益的可能情况,其次将每一种情况的所有收益折现到估值时刻,最后计算概率加权的现值和。

 

交易策略

对于完全有效的市场,金融资产概率加权的收益现值等于无风险利率rf,不存在获得超额收益的机会。但是市场只能在有效和无效之间达成动态平衡,所以当金融资产概率加权的收益现值大于无风险利率rf,买入该资产就是期望超额收益的做多策略。反之,卖出该资产就是期望超额收益的做空策略。

以2005年1月4日至2018年12月28日的沪深300指数日线涨跌幅数据为研究对象。如上图,总计行的数据表示日线涨跌幅数据落在每一列所代表的涨跌幅区间内的频次。可以计算得到日线平均涨跌幅为0.000367。假如我们制定一个随机入场的规则,每次都用相同的资金在前一日收盘买入,并在次日收盘时卖出。如果进行足够多次蒙特卡洛模拟,我们获得的平均收益率就接近0.00367。这显然不能是一个交易策略。

交易规则能否成为交易策略,就要看其对应的概率分布是否是有偏的,偏向上涨则是做多策略,偏向下跌则是做空策略。向无偏概率分布中加入新信息,直到新的条件概率分布能打破涨跌平衡,就得到了一个交易策略。

现在将前面的随机入场规则加强为根据前一天涨跌幅rt-1入场规则,每一个rt-1对应一个条件概率分布p(rt|rt-1)。

如上图,(-0.5,0.5)这一行的数据就表示如果rt-1落在(-0.5,0.5)区间内,rt落在每一列所代表的涨跌幅区间内的频次。新的条件概率p(rt|rt-1∈(-0.5,0.5))的平均收益率为-0.000472。

我们再来考察p(rt|rt-1∈(2.5,3)),其平均收益为0.004583,也就是说上涨的概率大于下跌的概率,具备了交易策略的条件。

交易者常用的止盈止损条件,其作用就是改变概率分布的均值,使其均值偏向有利于持仓的一侧。

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