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收益率的计算方法及出入金的影响

本文介绍两种收益率的计算方法:内部收益率(Internal Rate of Return)时间加权收益率(Time-Weighted Rate of Return),其中内部收益率也叫价值加权回报率(Money-Weighted Rate of Return)。内部收益率受现金流变化的影响,可能会出现不唯一的问题。最后谈论了现金流变化对时间加权收益率的放大效应。


投资持有期间,如果不发生现金流,计算收益率是很简单的:

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然而,现实情况经常是复杂的。

天使投资、A轮、B轮、C轮、D轮……这些词你一定不陌生。

同样,资本的退出也不是一次性完成的。

现金流比较复杂的情况,如何合理的计算投资收益率呢?

 

内部收益率(Internal Rate of Return)

IRR可以理解为是持有期内投入的所有资金的复利增长率。

在投资期间,假设所有现金流都能以收益率R获得投资回报。根据现金流出现的时间,计算出所有现金流在期末的价值。

如果R的值使得期末所有流入现金流的价值等于所有流出现金流的价值,那么这个R就是这项投资的内部收益率。

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IRR就是这个方程的解。其中,流入现金流为正,流出现金流为负。

把IRR与机会成本,或者市场收益率,或者投资者要求收益率进行对比,如果IRR大,就应该投,否则就不应该投。

债券的到期收益率就是内部收益率。

我在财政部网站上找到了关于2017年记账式附息(一期)国债的发行信息:

一、本期国债计划发行200亿元,实际发行面值金额200亿元。

二、本期国债期限5年,经招标确定的票面年利率为2.88%2017112日开始计息,招标结束后至112日进行分销,116日起上市交易。

三、本期国债为固定利率附息债,利息按年支付,利息支付日为每年的112日(节假日顺延,下同),2022112日偿还本金并支付最后一次利息。

如果在2017年1月12日购买100万该债券,并持有到期,持有期间现金流如下:

假设持有期间所有流入现金流和流出现金流能获得的资本收益率为r。在到期日,所有流入现金流的价值等于所有流出现金流的价值,可以得到方程:

-1000000*(1+r)^5+28800*(1+r)^4+28800*(1+r)^3+28800*(1+r)^2+28800*(1+r)+28800+1000000=0

解方程可以得到r=2.88%。这个值正是该债券的票面利率。

如果债券折价发行,则内部收益率大于其票面利率。反之,如果溢价发行,则内部收益率小于其票面利率。(大小关系写反了,现在已更正。

 

IRR受资金流的影响

假设期初T0时刻,投入900000到一个项目。T1时刻又投入50000。T2时刻,既没新增投资,也没获得收益。T3时刻,该项目清算,获得2061800。

-900000*(1+IRR)^3-50000*(1+IRR)^2+2061800=0

可以得到IRR=30%。

如果第二次50000的投资发生在T2时刻,而不是T1时刻。

-900000*(1+IRR)^3-50000*(1+IRR)+2061800=0

可以得到IRR′=30.42%。

基金的申购和赎回是很频繁的,但是申购和赎回并不影响基金经理的投资能力。所以,基金净值一般都不用IRR算,而是算TWRR。

 

IRR不唯一的问题

持有期间,如果现金流流入、流出交替出现,就会出现IRR不唯一的问题。德克萨斯大学网站上的一个例子:

T0时刻投入100,T1获得405,T2时刻投入500,T3时刻获得200,T4时刻投入100,T5时刻获得100。

-100*(1+r)^5-500*(1+r)^3-100*(1+r)+405*(1+r)^4+200*(1+r)^2+100=0

该方程的解并不唯一。如下图,NPW曲线与0轴的交点都可以使该方程成立。

如果认为IRR=7.13%,投资收益可能并没有吸引力。但是,如果认为IRR=92.47%,投资收益就非常可观了。

这种情况下IRR就没有什么参考意义了。

 

时间加权收益率(Time-Weighted Rate of Return)

TWRR可以理解为是期初投入的1元钱到期末的复利增长率。

为了消除现金流变化的影响,TWRR把投资期拆分为N个小期限,使得所有的现金流变化都发生在期初(期末)。

然后用公式1分别计算被拆分单期收益率Ri

以上期末的净值Vi-1为本期的初值,在用本期收益率Ri,可得到本期末净值Vi-1*(1+Ri),然后继续这样计算到投资期末,就可以得到累计净值:

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累计收益率为:

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如果这N期是平均划分的,可以通过几何平均得到单期平均收益率:

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如果单期时间不足一年或者大于一年,一般来说还需要将单期平均收益进行年化。

不受现金流变化影响的优点,使得TWRR被基金行业广泛采用。

如果你关注过各种交易比赛,会发现所有的比赛采用的都是TWRR。

问题来了,TWRR真的不受现金流的影响吗?我们把这个问题放到最后来讨论。

下面看一个简单的例子:

如果初始资金100000,在2016年12月30日以收盘价2867买入1手螺纹,并持有到2017年1月25日收盘。

SIGNLE_RETURN是用公式1计算的累计收益率。

MULT_TWRR是持有期间的累计TWRR。

AV_TWRR是平均每日的收益率。

ANN_TWRR是年化收益率。

一般来说,只会把超过一年期的收益率年化,因为是realized的。很少把不到一年的收益率年化,因为这完全不靠谱。

 

如果你有兴趣,可以把德克萨斯大学网站上的一个例子继续看完。

在说明了IRR多值问题之后,网站推荐计算Return on Invested Capital,并给出了计算结果。

假设银行承诺未来五年内为投资者提供固定利率RIC的贷款。(这笔钱如果不是从银行贷的,而是投资者自己“贷”给自己的,那么贷款利息就是投资者的收益。)

T0时刻,投资者向银行贷100,投入项目。投资者净投入为D0=100。

T1时刻,投资者从项目中获得分红405。偿还银行本息后,将净利润V1=405-D0*(1+r)进行再投资。假设再投资收益率为MARR,这个例子中为10%。

T2时刻,项目没有分红,要求投资者再投入500。本期净投入为D2=500-V1*(1+10%)。这部分金额通过银行贷款得到。

T3时刻,项目分红200。投资者偿还银行本息后,将净利润V3=200-D2*(1+r)进行再投资。

T4时刻,项目没有分红,要求投资者再投入100。本期净投入为D4=100-V3*(1+10%)。这部分金额通过银行贷款得到。

T5时刻,项目清盘,投资者分得100,偿还银行本息后,净利润V5=100-D4*(1+RIC)。

项目盈利能力越强,V5的值越大。

使V5=0的RIC,就这个项目的平均收益。

如果RIC大于市场再投资收益率MARR,这个项目有投资价值。否则就没有投资价值。

其实,RIC就是时间加权收益率。

 

现金流变化对TWRR的影响

基金的持仓比例一般是固定的,当有申购和赎回的时候,流入和流出的现金基本都要转化成相应比例的持仓。所以,变化的现金流对TWRR确实没有影响。

但是,如果固定手数交易,现金流变化直接导致持仓比例的变化,会对TWRR产生很大的影响。

前面螺纹的例子,我设计了两个出入金策略。重新计算TWRR:

SIGNLE_RETURN是总利润和初始资金的比例,所以没有变化。

但是,MULT_TWRR,AV_TWRR,ANN_TWRR都被不同程度的放大。

其实,即使按照固定周期出入金,只要在上涨趋势中出金周期比入金周期更短,就能达到放大收益的效果。

如果初始资金100000,在2015年12月31日以收盘价1784买入1手螺纹,并持有到2017年1月25日收盘,期间只出入金。计算TWRR收益率:

SIGNLE_RETURN是总利润和初始资金的比例。

MULT_TWRR,AV_TWRR,ANN_TWRR分别是累计TWRR,日平均TWRR,以及年化TWRR。

 

(正文完)

 

 

 

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